第305章 非線性偏微分方程組降維問題

 “眾所周知，任何一個連續函數能被傅里葉級數序列的展開式近似表示，基於上述原理，非線性偏微分方程中的時空親和變量，能夠展開成一個無限維空間基函數集合和其對應的時間係數的級數和的形式： 

 x(z，t)=(i=1，∞)∑φi(z)xi(t) 

 其中xi(t)表示每個基函數φi(z)對應的時間係數……” 

 確實很基礎。 

 時空變量分離技術並不是什麼新鮮玩意，任何一本數學物理方法或者類似的教材上都能找到，只是一般認為適合使用分離變量法的偏微分方程應該具有一定的形式和特徵，如線性、齊次、可分離、係數只依賴於一個變量等等，這極大地限制了此類方法的應用。 

 因此常浩南迅速略過了這部分內容，直接看向了第三節，往往也是正文的第一節： 

 為了詳細和清楚地闡述非線性偏微分方程動態系統降維的方法，本小節釆用拋物型非線性偏微分方程系統作為對象進行闡述…… 

 “來了！” 

 看到感興趣內容的他精神一振，就連剛剛的些許睏意都瞬間煙消雲散。 

 邊界條件和初始條件分別為： 

 其中x(z，t)表示時空狀態變量，且為定義在空間區域[a，b]上的無窮維希爾伯特空間上的連續函數。表示空間座標，z∈[a，b]表示空間座標，為過程定義的實數域上的子空間，t∈[0，∞）表示時間變量…… 

 …… 

 最終，可以得到希爾伯特空間h（[a，b]）中上述非線性偏微分方程系統的表達形式： 

 x(z，t)/t=ax(z，t)+bu(z，t)+(x，z，t) 

 x(z，0)=x0(z) 

 下面給出兩個仿真實例，分別是一維空間的無量綱kuramoto-sivashinsky方程，以及非等溫管狀反應器的溫度與壓力場…… 

 “嗯……有點東西……” 

 常浩南看到後面，內心瞭然地點了點頭。 

 “總的來說。” 

 他從旁邊的打印機裡面抽出一張紙，開始自言自語地總結起來， 

 “首先，選擇合適的空間正交基函數且採用時空分離技術對非線性偏微分方程動態系統進行時空變量分離，即將系統的時空親合變量在選定或求得的正交空間基函數上展開，將展開式代入原系統後結合非線性伽遼金方法……” 

 一個小時的時間很快在他的寫寫畫畫中過去了。 

 雖然文章中用於闡述理論的對象只是個非常簡單的拋物型系統，但後面舉出來的兩個應用算例確實還算可以，配得上作者在摘要裡面吹出來的牛逼。